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WHILE-Programm

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WHILE-Programme spielen in der Theoretischen Informatik eine Rolle, insbesondere in Zusammenhang mit Berechenbarkeit.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

  • RAM-berechenbar, Turing-berechenbar und WHILE-berechenbar sind äquivalent
  • LOOP-berechenbar \subset WHILE-berechenbar
  • Kleenesche Normalform (Jedes WHILE-Programm kommt auch nur mit einer WHILE-Schleife aus)

Syntax

WHILE-Programme haben folgende Syntax in modifizierter Backus-Naur-Form:

P ::= x_i := x_j + c \, | \, x_i := x_j - c \, | \, P;P \, | \, \mathrm{WHILE} \, x_i \ne 0 \, \mathrm{DO} \, P \, \mathrm{END}

WHILE ist die Menge aller WHILE-Programme gemäß obiger Definition.

Jede WHILE-berechenbare Funktion ist GOTO-berechenbar und umgekehrt sowie turingberechenbar.

Erklärung der Syntax

Ein WHILE-Programm P besteht aus den Symbolen WHILE, DO, END, :=, +, -, ;, \ne, einer Anzahl Variablen x1,x2,... sowie beliebigen Konstanten c.

Es sind nur drei verschiedene Anweisungen erlaubt, nämlich

  • die Zuweisung einer Variablen durch eine weitere Variable, vermehrt um eine Konstante, etwa
x3: = x4 + 10
  • oder vermindert um eine Konstante, etwa
x5: = x6 − 300
  • eine WHILE-Anweisung, die eine Variable auf ungleich Null abfragt und ein WHILE-Programm zwischen DO und END enthält, etwa
\mathrm{WHILE} \quad x_7 \ne 0 \quad \mathrm{DO} \quad x_7:=x_7+1 \quad\mathrm{END}

Die Anweisungen sind für sich genommen bereits vollständige WHILE-Programme. Des weiteren ist die

  • Aneinanderreihung von WHILE-Programmen, jeweils getrennt durch ein Semikolon

wieder ein WHILE-Programm.

Kleenesche Normalform für WHILE-Programme

Jede WHILE-berechenbare Funktion kann durch ein WHILE-Programm mit nur einer WHILE-Schleife berechnet werden.

Beweis: Sei P ein beliebiges WHILE-Programm. Wir formen P zunächst um, um ein äquivalentes GOTO-Programm P' zu erhalten und dann wieder zurück in ein äquivalentes WHILE-Programm P''. Per Konstruktion hat dieses nur eine WHILE-Schleife.

Konsequenzen

Die einfach beweisbare Tatsache, dass jedes GOTO-Programm in ein WHILE-Programm überführt werden kann und umgekehrt, hat zur Konsequenz, dass man beweisen kann, dass ein beliebiges Pascal-Programm die gleichen Leistungen erbringen kann wie ein beliebiges BASIC-Programm. Außerdem zeigt sie, dass man jedes Programm auch strukturiert programmieren kann, ohne Spagetticode zu erzeugen.

Simulation durch GOTO-Programm

Ein jedes WHILE-Programm

\mathrm{WHILE} \quad x2 \ne 0 \quad\mathrm{DO} \quad P \quad\mathrm{END}

kann durch das folgende GOTO-Programm simuliert werden 

M1: IF x2 = 0 THEN GOTO M2;
    P;
    GOTO M1;
M2: ...

Eine weitere verwendete Schleifenstruktur ist ein LOOP-Programm.

Von „http://www.kefk.org/wiki/WHILE-Programm“
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