Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Träger (Mathematik)

Aus Kefk.

Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik bezeichnet der Träger (manchmal auch Support) die „Nichtnullstellenmenge“ einer Funktion oder anderen Objekten.

Inhaltsverzeichnis

Analysis

Träger einer Funktion

Der Träger von f wird meist mit \operatorname{supp}(f) bezeichnet.

Sei A ein topologischer oder metrischer Raum und f: A \to \mathbb{R} eine stetige Funktion. Der Träger von f besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle (cl, von "closure") der "Nichtnullstellenmenge" von f:

\operatorname{supp}(f) := \operatorname{cl}\{x\in A | f(x)\ne 0\}

Träger einer Distribution

Ist f dagegen eine Distribution auf U (offene Teilmenge von \mathbb{R}^d), dann definiert man als Träger von f das Komplement der größten offenen Teilmenge, auf der f verschwindet:

\operatorname{supp}(f) := U\setminus \cup\left\{ \omega\subset U\ \mathrm{ offen } : f|_{\mathrm{C}_0^\infty(\omega)} = 0\right\}

Falls f = Tg eine reguläre Distribution ist stimmt, diese Menge mit dem Träger von g überein.

Beispiele

Ist f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = x, dann ist \operatorname{supp}(f) = \mathbb{R}, denn die Nichtnullstellenmenge von f ist \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}, deren Abschluss ganz \mathbb{R} ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = 1, falls \left| x \right| < 1, sonst 0, dann ist \operatorname{supp}(f) die Menge \left\{ x : \left| x \right| \leq 1 \right\}.

Sei U eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^d. Die Menge aller stetigen Funktionen von U nach \mathbb{R} mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit C0(U) bezeichnet wird.

Die Menge C_0^\infty (U) aller glatten (unendlich oft differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in U spielt als Menge der "Testfunktionen" eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution δ(f): = f(0) hat den Träger \left\{ 0 \right\}, denn mit \omega := \mathbb{R}^d \setminus \left\{ 0 \right\} gilt: Ist f aus C_0^\infty ( \omega ), dann ist δ(f) = 0.

Garbentheorie

Es sei F eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum X.

Träger eines Schnittes

Für eine offene Teilmenge U\subseteq X und einen Schnitt s\in\Gamma(U,F) heißt die Menge derjenigen Punkte x\in X, für die das Bild von s im Halm Fx ungleich null ist, der Träger von s, meist mit \mathrm{supp}\,s oder | s | bezeichnet.

Der Träger eines Schnittes ist stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe

Der Träger von F selbst ist die Menge der Punkte x\in X, für die der Halm Fx ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur

  • Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.
Wikipedia
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Tr%C3%A4ger_%28Mathematik%29, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
Von „http://www.kefk.org/wiki/Tr%C3%A4ger_%28Mathematik%29“
Persönliche Werkzeuge