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Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

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Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbelsinus, bzw. Hyperbelkosinus. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sinus Hyperbolicus:

\sinh(x) := \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) .

Kosinus Hyperbolicus:

\cosh(x) := \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) .

Eigenschaften

Bild:Sinh.png
Graph der Funktion sinh(x)
Bild:Cosh.svg
Graph der Funktion cosh(x)


  Sinus Hyperbolicus Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich - \infty < x < + \infty - \infty < x < + \infty
Wertebereich - \infty < f(x) < + \infty 1 \le f(x) < + \infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend x < 0 streng monoton fallend
x > 0 streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur y-Achse
Asymptotische
Funktionen 		a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x} a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}
a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{\ -x} a_2(x) = \frac{1}{2}e^{\ -x}
Nullstellen x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei x = 0
Wendepunkte x = 0 keine

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus nennt man "Areasinus Hyperbolicus"

{\rm arsinh}(x):= \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) .

Die Umkehrfunktion des Kosinus Hyperbolicus nennt man "Areakosinus Hyperbolicus".

{\rm arcosh}(x):= \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)

Ableitung

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh(x) = \cosh(x)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\cosh(x) = \sinh(x)

Integral

\int \sinh(x)\, dx = \cosh(x) + C
\int \cosh(x)\, dx = \sinh(x) + C

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus lautet:

\sinh(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= x+ \frac16 x^3 + \frac {1}{120} x^5+\cdots
\cosh(x)= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}} {(2k)!} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + ...

Produktentwicklung

Kosinus Hyperbolicus:

\cosh(x)= \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right)

Komplexes Argument

\operatorname{sinh}(x+iy) = \sinh(x)\cos(y) + i \cdot \cosh(x)\sin(y) mit x,y \in \mathbb{R}
\operatorname{sinh} (ix) = i \cdot \sin(x)
\operatorname{cosh}(x+iy) = \cosh(x)\cos(y) + i \cdot \sinh(x)\sin(y) mit x,y \in \mathbb{R}
\operatorname{cosh} (ix) = \cos(x)

Weiteres

f(x)=a \cdot \sinh(x)+b \cdot \cosh(x) mit a,b \in \mathbb{R} löst die Differenzialgleichung
f''\left( x \right) - f(x) = 0

Außerdem gilt der Zusammenhang

\operatorname{cosh}^2 x - \operatorname{sinh}^2 x = 1 für alle x.

Siehe auch

Bild:F of x.svg
Hyperbolische und Area-Funktionen

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus
Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

 
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Von „http://kefk.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus“
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