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Quadratische Funktion

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Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom der elementaren Algebra vom Grad 2 besitzt, also von der Form x \mapsto a x^2 + b x + c mit der Funktionsgleichung y = ax2 + bx + c. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.


Inhaltsverzeichnis

Die allgemeine quadratische Funktion

Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist x \mapsto a x^2 + b x + c. Ist a = 1,b = 0 und c = 0 so erhält man die Quadratfunktion.

Definitionsbereich: D \subseteq \mathbb{R}
Wertebereich: W \subseteq \mathbb{R}

Die Koeffizienten a,b und c bestimmen teilweise direkt den Wertebereich und die Form des Graphen.

Parameter a

Wie der Wert von a die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man b = 0 und c = 0 setzt. Man erhält dann eine Normalparabel mit einem Faktor vor x2.

a > 0 ... der Graph ist nach oben geöffnet.

a < 0 ... der Graph ist nach unten geöffnet.

| a | < 1 ... der Graph ist gestaucht, d.h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.

| a | > 1 ... der Graph ist gestreckt, d.h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für a = − 1 ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

Bild:Quaddratische Funktion mit verschiedenen a.png

Bild:Quaddratische Funktion mit negativen a.png

Bild:Quaddratische Funktion mit a kleiner 1.png


Parameter c

Eine Veränderung des Parameters c bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Wird c um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird c um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

Scheitelpunktsbestimmung

Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum oder das absolute Maximum. Ob Minimum oder Maximum hängt allein von a ab. Deshalb stellt die rechnerische Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts eine der wichtigsten Aufgaben dar.

  • Diese Koordinaten lassen sich direkt auslesen, wenn der Funktionsterm in Scheitelpunktsform umgeformt wird:
f(x) = a \cdot \left( x-x_s \right)^2 + y_s.

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten S(xs | ys). Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse durch xs.

  • Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der 1.Ableitung der Funktion den x-Wert des Scheitelpunktes (y-Wert durch Einsetzen):
f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow f'(x)=2ax+b \rightarrow 2ax+b=0 \Rightarrow x=\frac{-b}{2a} Wichtig ist nur der letzte Bruch!
\Rightarrow y=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c= \frac{ab^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}

Der Scheitelpunkt wird diesmal ausgedrückt durch die Koeffizienten a,b und c, lässt sich ohne Umformung der quadratischen Gleichung leicht bestimmen.

Beispiel Bestimmung des Scheitelpunkts aus der Gleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion

y = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5


  • Bestimmung des Scheitelpunktes über die Scheitelform der Funktion
y = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5 Die ursprüngliche Funktionsgleichung
y = 2 \cdot \left( x^2 + 2 \cdot x \right) + 5 Der Faktor a vor dem x 2 wurde ausgeklammert, wobei der Summand +5 ausgeschlossen bleibt
y = 2 \cdot \left( x^2 + 2 \cdot x + 1 - 1 \right) + 5 Es wird eine quadratische Ergänzung zu x 2 + 2x durchgeführt
y = 2 \cdot \left( \left( x + 1 \right) ^2 - 1 \right) + 5 Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich aus einem Teil des Terms ein Quadrat heraus zu ziehen
y = 2 \cdot \left( x + 1 \right) ^2 - 2 + 5 Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen
y = 2 \cdot \left( x + 1 \right) ^2 + 3 In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt S( -1 / 3 ) ablesen
y = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5 Die ursprüngliche Funktionsgleichung
y' = 4 \cdot x + 4 Die 1. Ableitung der Funktion
4 \cdot x + 4 = 0 \Rightarrow x=-1 Bestimmung der Nullstelle der 1.Ableitung durch Gleichsetzen mit Null
y = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5 x einsetzen in f(x)
\Rightarrow y=3 y berechnen

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S( -1 / 3 )

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Lösung der Gleichung f(x)=0 , d.h. der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0.

Die quadratische Funktion als Kegelschnitt

Jede quadratische Funktion (Parabel) lässt sich geometrisch als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel darstellen. Genaueres dazu unter Kegelschnitt.

Brennpunkt der zugehörigen Parabel

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel und besitzt somit einen Brennpunkt. Dies wird bei einem Parabolspiegel praktisch genutzt. Mit einem solchen Spiegel kann kann Fernsehprogramme empfangen oder mit Sonnenenergie möglichst hohe Temperaturen erzeugen. Siehe auch Parabel (Mathematik).

Der Brennpunkt der Parabel mit der Gleichung y = ax2 ist (0|\frac{1}{4a}).

Wissenswertes über quadratische Funktionen

Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichungen haben die Form: f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\,
Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades oder Polynom 2. Grades.
Deren Graphen werden Parabeln genannt.

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

Allgemein gilt:
Ist f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\, die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt S(x_s|y_s)\, besitzt, so ist f(x) = a_2(x-x_s)^2 + y_s\, die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
Hintergrundinformationen

Achsenschnittpunkte

Bild:Zqfkt 01.gif
Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist
P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)
Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist
P_{xi}(x_i|0)\Rightarrow f(x_i) = 0 für i = 1 ; 2
Hintergrundinformationen


Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion x_1 ; x_2\, bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:
x_s=\frac{x_1+x_2} {2} \Rightarrow S(x_s|f(x_s))
Hintergrundinformationen

p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: x^2+px+q=0\,
p - q - Formel:
x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt: D=\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q
Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\,
Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.
D > 0 \Rightarrow L = \{x_1 ; x_2\} Zwei Lösungselemente
D = 0 \Rightarrow L = \{x\} Ein Lösungselement (Doppellösung)
D < 0 \Rightarrow L = \{ \} Kein Lösungselement
Hintergrundinformationen

Der Satz von Vieta

Sind x_1 ; x_2\, Lösungen der quadratischen Gleichung x^2+px+q=0\, so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta x_1 + x_2 = -p \, und x_1\cdot x_2=q überprüft werden.
Hintergrundinformationen

Nullstellen und Linearfaktoren

Sind x_1\, und x_2\, die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\,, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
f(x) = a_2\cdot(x-x_1)(x-x_2)
Hintergrundinformationen

Schnittpunkt von Parabel und Gerade

f(x)\, sei die Funktionsgleichung einer Parabel und g(x)\, die einer Geraden.
Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen f(x)=g(x)\Rightarrow \, quadratische Gleichung.
Falls nun:
D>0:\Rightarrow\, Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.
D=0:\Rightarrow\, Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.
D<0:\Rightarrow\, Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
Hintergrundinformationen

Schnittpunkt zweier Parabeln

f(x);g(x)\, seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.
Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen f(x)=g(x)\Rightarrow \, quadratische Gleichung.
Falls nun:
D>0:\Rightarrow\, Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
D=0:\Rightarrow\, Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
D<0:\Rightarrow\, Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
f(x)-g(x)\Rightarrow\, lineare Gleichung \Rightarrow\, Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Hintergrundinformationen


Siehe auch

Weblinks

Wikipedia
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