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Lösung (Mathematik)

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Als Lösung einer Gleichung f(x)=g(x) in einer Unbekannten x bezeichnet man in der Mathematik jede Konstante c, die die Gleichung erfüllt („löst“), wenn man sie anstelle der Variablen x in die Gleichung einsetzt,

Je nach Art der Gleichung kann die Variable x – und damit auch die Konstante c – u.a. für eine Zahl, einen Vektor, oder eine Funktion, oder auch für ein anderes mathematisches Objekt stehen.

Analoge Sprechweisen gelten u.a. für Gleichungen in mehreren Unbekannten und für Ungleichungen.

Bemerkung:
Außer in dieser speziellen Bedeutung wird das Wort Lösung in der Mathematik auch im üblichen (normalsprachlichen) Sinn verwendet, nämlich für Lösungen mathematischer Probleme, das Finden von Beweisen, von Beispielen und Gegenbeispielen, das Beantworten von Fragen, etc.

Spezielle Lösungen

Je nach Art der Gleichung haben Lösungen oft spezielle Namen:

Nullstelle bei einer Gleichung der Form f(x)=0
Fixpunkt bei einer Gleichung der Form f(x)=x
optimale Lösung, insbesondere als extremale Lösung bei Gleichungen der Form

$\ f(x) = \mathrm{max} \{ f(t) \}$ oder $\ f(x) = \mathrm{min} \{ f(t) \}$

Neben der exakten Lösung, die sich in geschlossener Form als Geichung notieren lässt, gibt es Lösungen, die nur auf numerischem Weg gelöst werden können, die Näherungslösung.

Formale Beschreibung

Formal kann die Situation mithilfe der Prädikatenlogik folgendermaßen beschrieben werden:

Ist ein Term der Form

$\ f=g$ mit zwei Funktionstermen f und g oder
ein Relationsterm $\ R$

gegeben, in dem

die Variablen $x_i, i\in I$ (I eine Indexmenge) frei vorkommen,

so werden

die Konstanten $c_i, i\in I$

dann Lösungen (der Gleichung oder der Relation) genannt, wenn durch Einsetzen dieser Konstanten für die Variablen ein korrekter („wahrer“) Term entsteht. Dabei bedeutet "einsetzen", dass überall dort, wo in dem Term die Variable $x i$ frei vorkommt, stattdessen die Konstante $c i$ geschrieben wird.