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Koordinatentransformation

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Unter Koordinatentransformation versteht man die Veränderung der Koordinatenwerte beim Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen. Formal gesehen ist dies der Übergang von den ursprünglichen Koordinaten (x1,x2,...,xN) zu den neuen Koordinaten (x'1,x'2,...,x'N), wobei die x'i im allgemeinen beliebige Funktionen aller xi sein können. In der Regel verwendet man spezielle Transformationen, bei denen diese Funktionen gewissen Einschränkungen, z. B. Differenzierbarkeit oder Linearität, unterliegen.

Koordinatentransformationen können angewendet werden, wenn sich ein Problem in einem anderen Koordinatensystem leichter lösen lässt, z. B. bei der Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten oder umgekehrt.

Inhaltsverzeichnis

Spezielle Koordinatentransformationen

Affine Transformationen

Sind beide beteiligten Koordinatensysteme linear, d.h. im Prinzip durch einen Koordinatenursprung und gleichmäßig unterteilte Koordinatenachsen gegeben, so liegt eine Affine Transformation vor. Hierbei sind die neuen Koordinaten affine Funktionen der ursprünglichen, also

x'1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn + b1
x'2 = a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn + b2
usw.

Dies kann man kompakt als Matrixmultiplikation des alten Koordinatenvektors \vec{x}=(x_1,...,x_n) mit der Matrix A, die die Kooeffizienten aij enthält, und Addition eines Vektors \vec{b}, der die bi enthält, darstellen

\vec{x'}=A\cdot\vec{x} + \vec{b}

Translationen (Verschiebungen)

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme S und S'. S ist gegenüber S' um den Vektor \vec{b} verschoben aber nicht verdreht.

Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten \vec{x} hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten \vec{x'}=\vec{x}+\vec{b}.

Dies ist der Spezialfall einer affinen Transformation, bei der A die Einheitsmatrix ist.

siehe auch: Parallelverschiebung

Lineare Transformationen

Bei Linearen Transformationen sind die neuen Koordinaten lineare Funktionen der ursprünglichen, also

x'1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn
x'2 = a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn
usw.

bzw.

\vec{x'}=A\cdot\vec{x}

Dies ist eine affine Transformation im Spezialfall \vec{b}=0. Insbesondere stimmt der Ursprung des neuen Koordinatensystems mit dem des alten überein.

Skalierung

Die Skalierung ist ein Spezialfall der linearen Transformation, bei der alle Koordinatenwerte mit dem gleichen Faktor s multipliziert werden. Die Matrix A ist in diesem Fall s mal die Einheitsmatrix.

Drehung

Wir betrachten zwei (hier: dreidimensionale) kartesische Koordinatensysteme S und S' mit einer gemeinsamen z-Achse und gemeinsamen Ursprung. S' sei gegenüber S um den Winkel \varphi um die z-Achse gedreht. Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten (x, y, z) hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten:

  • x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi,
  • y'=y\cos\varphi-x\sin\varphi,
  • z'=z\,

siehe auch: Drehmatrix

Beispiele

Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten

Hauptartikel: Polarkoordinaten

Ein Punkt in der Ebene wird im kartesischen Koordinatensystem durch seine Koordinaten (x,y) und im Polarkoordinatensystem durch den Abstand r vom Ursprung und dem (positivem) Winkel \varphi zur x-Achse bestimmt.

Dabei gilt für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

  • x=r\cdot\cos\varphi
  • y=r\cdot\sin\varphi

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt:

  • r=\sqrt{x^2+y^2}
  • \varphi = \begin{cases}\arctan\frac yx&\mathrm{f\ddot ur}\ x>0\\ \arctan\frac yx+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ x<0,\,y\geq0\\ \arctan\frac yx-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ x<0,\,y<0\\ \pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ x=0,\,y>0\\ -\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ x=0,\,y<0 \end{cases}
{}=\begin{cases}\arccos\frac xr&\mathrm{f\ddot ur}\ y\geq0\\ \arccos\left(-\frac xr\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ y<0 \end{cases}

Weitere Anwendungen

In der Physik sind die Galilei-Transformation und die Lorentz-Transformation wichtig.

In den Geowissenschaften - insbesondere der Geodäsie und Kartographie gibt es noch weitere Transformationen, die formal Koordinatentransformationen darstellen.

Siehe auch: Georeferenz, Passpunkt, Photogrammetrie, kartesisches Koordinatensystem, Rotationsmatrix, Basiswechsel, Herzog'scher TART-Satz

Von „http://www.kefk.org/wiki/Koordinatentransformation“
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