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Ellipsoid

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Ellipsoid mit

(a, b, c) = (4,2,1)

Ein Ellipsoid ist ein höherdimensionales Analogon einer Ellipse.

Definition

Die Gleichung eines Ellipsoids im dreidimensionalen Raum lautet bei Verwendung kartesischer Koordinaten

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1$

mit positiven reellen Zahlen $a$ , $b$ und $c$ , den Längen der Halbachsen. Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix $Q = (q i j)$ :

$E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)\in R^n : x^T Q x = \sum_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}.$

Durch Hauptachsentransformation kann man $Q$ auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren.

Die Eigenvektoren geben die Richtung und die Eigenwerte die dazugehörige Länge der Hauptachsen an.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen entstehen Rotationsellipsoiden. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Sind alle drei Achsen verschieden, spricht man von triaxialen Ellipsoiden. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vergl. Erdellipsoid) bzw. Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

Volumen des Ellipsoiden

Für das Volumen $V$ gilt

$V = \frac{4}{3} \pi a b c,$

wobei wie oben $a$ , $b$ , $c$ die Halbachsen sind.

Oberfläche des Rotationsellipsoiden

Ohne Einschränkung sei $a \ge b \ge c$ . Weiter seien $k = \frac{c}{a}$ das Verhältnis der Halbachsen $c$ und $a$ und $\varepsilon = \sqrt{1 - k^2}$ die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der $x z$ -Ebene $y = 0$ ergibt.

Dann ist für

$a = b > c$ (Rotationsachse = $z$ -Achse): $S = 2 \pi a^2 \left( 1 + k^2 \,\frac{\operatorname{artanh} \,\varepsilon}{\varepsilon} \right)$

$a > b = c$ (Rotationsachse = $x$ -Achse): $S = 2 \pi c^2 \left( 1 + \frac{1}{k} \, \frac{\arcsin \varepsilon}{\varepsilon} \right)$

Oberfläche des triaxialen Ellipsoiden

Ohne Einschränkung sei $a > b > c$ .

Die Oberfläche des triaxialen Ellipsoiden lässt sich im Allgemeinen nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z.B. artanh oder arcsin.

Von Legendre stammt eine Formel, welche diese Oberfläche mit Hilfe der elliptischen Integrale

$E(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \sqrt{\frac{1-k^2 x^2}{1-x^2}}\, dx$